בגרות 2026 קיץ מועד א – שאלה 3מספרים מרוכבים 572 · שיעור 49
שיעור 49: בגרות 2026 קיץ מועד א – שאלה 3
מספרים מרוכבים · 5 יחידות · שאלון 572
מספרים מרוכבים · שאלון 572
📄 התרגיל
שאלת המספרים המרוכבים מהבגרות האחרונה: שורשים מסדר 3, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע במישור גאוס ומספר צמוד. קודם השאלה המלאה, ואחריה הפתרון סעיף אחרי סעיף 👇
📝 השאלה
נתונה המשוואה z3 = −64 . z הוא משתנה מרוכב. (כל הזוויות בשאלה במעלות.)
א.מצאו את כל פתרונות המשוואה.
נתונים שני מספרים מרוכבים: w1 = r(cos a + i · sin a) , w2 = 2r(cos 4a + i · sin 4a) , כאשר 50 < a < 130 .
שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים w1 ו־w2 נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים O במישור גאוס.
ב.מצאו את שני הערכים האפשריים של a .
נתון כי w1 הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א.
ג.מצאו את הערך של a ואת הערך של r .
נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w3 = 4 · i , w4 = 8i .
📝 השאלה · המשך
ABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד A מיוצג על ידי w1 , הקודקוד B על ידי w3 , הקודקוד C על ידי w2 , והקודקוד D על ידי w4 .
ד.הראו כי שטח המרובע ABCD הוא 36 .
u הוא מספר מרוכב. הנקודה E , שמיוצגת על ידי המספר u , נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOA . נתון כי |u| > 1 ,
u + 1u = 5.2 · (cos 285 + i · sin 285)
ה.מצאו את המספר המרוכב u .
סעיף א – פתרונות המשוואה
כותבים את −64 בהצגה קוטבית: המספר על החלק השלילי של הציר הממשי, המרחק מהראשית 64 והזווית 180° .
−64 = 64 · cis(180°)
לפי נוסחת השורשים מסדר n :
z = n√R · cis(θ + 360kn)
z = 3√64 · cis(180 + 360k3)
z = 4 · cis(60 + 120k) , k = 0 , 1 , 2
k = 0: z1 = 4 · cis(60°)
k = 1: z2 = 4 · cis(180°) = −4
k = 2: z3 = 4 · cis(300°)
✅
תשובה: 4 · cis(60°)
4 · cis(180°) = −4
4 · cis(300°)
4 · cis(180°) = −4
4 · cis(300°)
סעיף ב – שני הערכים של a
בהצגה קוטבית: w1 = r · cis(a) , w2 = 2r · cis(4a) .
שתי נקודות נמצאות על ישר אחד שעובר דרך הראשית אם הזוויות שלהן שוות, או נבדלות ב־180° (כפולה של 180° ):
4a = a + 180k
3a = 180k
a = 60k
בודקים אילו ערכים בתחום 50 < a < 130 :
k = 1: a = 60 ✓
k = 2: a = 120 ✓
k = 3: a = 180 ✗ (מחוץ לתחום)
✅
תשובה: a = 60°
a = 120°
a = 120°
סעיף ג – הערכים של a ושל r
w1 הוא אחד הפתרונות מסעיף א, לכן הגודל שלו 4 והזווית שלו 60° , 180° או 300° .
מסעיף ב: a = 60° או a = 120° . הערך המשותף הוא 60° .
w1 = 4 · cis(60°)
✅
תשובה: a = 60°
r = 4
r = 4
סעיף ד – שטח המרובע ABCD
כותבים את ארבעת הקודקודים בהצגה קוטבית:
A: w1 = 4 · cis(60°)
C: w2 = 2 · 4 · cis(4 · 60°) = 8 · cis(240°)
B: w3 = 4i = 4 · cis(90°)
את w4 מחשבים בכפל בצמוד של המכנה:
w4 = 8i = 8 · (−i)i · (−i) = −8i1 = −8i
D: w4 = −8i = 8 · cis(270°)
A ו־C נבדלות ב־180° ( 60° ו־240° ), לכן O על האלכסון AC . גם B ו־D נבדלות ב־180° ( 90° ו־270° ), לכן O על BD .
O היא נקודת מפגש האלכסונים, והמרובע מתחלק לארבעה משולשים. בכל משולש ידועות שתי צלעות (המרחקים מ־O ) והזווית ביניהן:
· המשך
O היא נקודת מפגש האלכסונים, והמרובע מתחלק לארבעה משולשים. בכל משולש ידועות שתי צלעות (המרחקים מ־O ) והזווית ביניהן:
S = 12 · a · b · sinC
SAOB = 12 · 4 · 4 · sin(90 − 60) = 8 · sin30 = 4
SBOC = 12 · 4 · 8 · sin(240 − 90) = 16 · sin150 = 8
SCOD = 12 · 8 · 8 · sin(270 − 240) = 32 · sin30 = 16
SDOA = 12 · 8 · 4 · sin(360 + 60 − 270) = 16 · sin150 = 8
SABCD = 4 + 8 + 16 + 8 = 36
✅
תשובה: SABCD = 36 – כפי שנדרש להראות
סעיף ה – המספר המרוכב u
B בזווית 90° ו־A בזווית 60° , לכן חוצה הזווית BOA נמצא בזווית:
60 + 902 = 75°
נסמן |u| = R , כאשר R > 1 :
u = R · cis(75°)
u = R · cis(−75°) = R · cis(285°)
1u = 1R · cis(−75°) = 1R · cis(285°)
לשני המספרים אותה זווית ( 285° ), לכן מחברים את הגדלים:
u + 1u = (R + 1R) · cis(285°)
משווים לנתון:
R + 1R = 5.2
· המשך
R + 1R = 5.2
R2 − 5.2R + 1 = 0
R = 5.2 ± √5.22 − 42 = 5.2 ± √23.042 = 5.2 ± 4.82
R = 5 או R = 0.2
נתון |u| > 1 , לכן R = 5 .
✅
תשובה: u = 5 · cis(75°) = 5(cos75 + i · sin75)
✅ סיימנו!
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא